Blanqueo de transformación

La transformación de blanqueo es un método decorrelation que transforma un juego de variables arbitrarias que tienen la matriz de la covariancia en un juego de nuevas variables arbitrarias cuya covariancia es aI, donde ser una constante y soy la matriz de identidad. Las nuevas variables arbitrarias se no correlacionan y todos tienen el desacuerdo 1. El método se llama "blanqueando" porque transforma la matriz de la entrada a la forma del ruido blanco, que por definición se no correlaciona y tiene el desacuerdo uniforme. Se diferencia de decorrelation en esto los desacuerdos se hacen ser iguales, más bien que hacer simplemente el cero de covariancias. Es decir donde decorrelation causa una matriz de la covariancia diagonal, el blanqueo produce un múltiplo escalar de la matriz de identidad.

Definición

Defina para ser un vector arbitrario con la matriz de la covariancia y significar 0. La matriz se puede escribir como el producto externo de y:

:

Defina como

:

Defina el nuevo vector arbitrario. La covariancia de Y es

:

\operatorname {Cov} (Y)

&= \operatorname {E} [YY^T] \\

&= \operatorname {E} [(\Sigma^ {-1/2} X) (\Sigma^ {-1/2} X) ^T] \\

&= \operatorname {E} [(\Sigma^ {-1/2} X (X^T\Sigma^ {-1/2})] \\

&= \Sigma^ {-1/2 }\\operatorname {E} [XX^T] \Sigma^ {-1/2} \\

&= \Sigma^ {-1/2 }\\Sigma\Sigma^ {-1/2} \\

&= YO

Los \end {alinean} </matemáticas>

Así, el Y es un vector arbitrario blanco.

Basado en el hecho que la matriz de la covariancia siempre está positiva semiclaro, se puede sacar usando eigenvalue la descomposición:

:

:

:

Donde la matriz es una matriz diagonal con cada elemento que es la raíz cuadrada del elemento correspondiente en. Para mostrar que esta ecuación sigue de la previa, multiplíquese por transportar:

:

:

\Sigma^ {1/2} (\Sigma^ {1/2}) ^T &= \Phi\Lambda^ {1/2} (\Phi\Lambda^ {1/2}) ^T \\

&= \Phi\Lambda^ {1/2} (\Lambda^ {1/2}) ^T\Phi^T \\

&= \Phi\Lambda\Phi^T \\

&= \Sigma \\

Los \end {alinean} </matemáticas>

Colorante

A la inversa, el colorante transforma un juego de variables "blancas" no correlacionadas en un juego con una matriz de la covariancia específica.

Véase también

Enlaces externos

http://courses.media.mit.edu/2010fall/mas622j/whiten.pdf



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